4つの熱力学関数は互いにルジャンドル変換でつながっています。
\(\Delta U = ~~T \Delta S ~~ – P \Delta V~ + \mu \Delta N \\
\Delta H = ~~T \Delta S + V \Delta P~ + \mu \Delta N \\
\Delta F = -S \Delta T~ – P \Delta V~ + \mu \Delta N \\
\Delta G = -S \Delta T + V \Delta P~ + \mu \Delta N
\)
ルジャンドル変換の変換式は、
[変換後の関数] = [変換前の関数] – [変換前後の変数の積]
という構造をしています。理由は前の記事参照で。
この式の構造を覚えていれば、熱力学関数の定義式を簡単に作ることができます。定義式を全部覚える必要は全くありません。
たとえば、ギブズエネルギー \( G \) を エンタルピー \( H \) から変換する定義式を作ってみます。
[変換後の関数] = \( G \)
[変換前の関数] = \( H \)
[変換前後の変数の積] = \( T S \)
なので、
$$ G = H – TS $$
です。変換式の構造と、それぞれの熱力学関数の変数の組み合わせを覚えている必要がありますが、それは熱力学関数を使用するときには必須の知識ですので、熱力学に慣れるに従い、自然に身に付きます。
ちなみに、この変換式で、本当に \( \Delta G = – S \Delta T + V \Delta P + \mu \Delta N \) を導くことができるかを確認してみます。変換式の両辺を変化量にすると、
$$ \Delta G = \Delta H – ( T \Delta S + S \Delta T ) $$
ここで、\( \Delta H = T \Delta S + V \Delta P + \mu \Delta N \) を代入し、
$$ \Delta G = (T \Delta S + V \Delta P + \mu \Delta N ) – ( T \Delta S + S \Delta T ) = -S \Delta T + V \Delta P + \mu \Delta N $$
変換完了です！
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