仕事とエネルギーは以下の式で定義されます。
\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} F dx = \frac{1}{2} m v_1^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 \)この式の意味を考えます。
この式は運動方程式を積分して導出しました。
まず、運動方程式の意味を復習します。
運動方程式は
\( F = ma \)
でした。ここで、\( F\) は力、\(m \) は質量、\( a\) は加速度です。
加速度は
\( \displaystyle a = \frac{dv}{dt} \)
です。微分の形で書けるので、ある瞬間の出来事を表現しています。
つまり、運動方程式は、「ある瞬間に力という作用が働けば、その瞬間に物体が加速する」ということを表現しています。
それを積分したのが、エネルギーの式です。
積分とは「区間」の現象を考えるときに使う演算です。
エネルギーの式は、運動方程式を「位置で積分」して作りました。
「位置積分」は、「ある物体を移動させたときの（位置を変化させたときの）、移動前と移動後の間（区間）での、物理量の変化を考えるための演算」です。
つまり、位置 \( x_0 \) から位置 \( x_1 \) まで物体を引きずります。ズルズルと。
ズルズル引きずったときに加えたトータルの力が、「仕事」
\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} F dx \)
です。
「運動エネルギー」は「物の勢い」を表します。「勢い」とは、たとえば、その物体を別の物体に衝突させたときに、どのくらい弾き飛ばせるか、を表す量です。
重い（質量が大きい）物体なら、ドン！と弾き飛ばせます。
また、軽い物体でも、速度が大きければ、ドン！と弾き飛ばせます。
そのため、運動エネルギーは、質量と速度に依存します。
ズルズル引きずる前の「勢い」を表しているのが
\( \displaystyle \frac{1}{2} m v_0^2 \)
です。
そして、ズルズル引きずった後の「勢い」を表しているのが
\( \displaystyle \frac{1}{2} m v_1^2 \)
です。
引きずった後と前の「勢い」の差を生み出しているのは、その間に加えらえた「力」です。
つまり、ズルズルと引きずった時の、
「加えらえた力の総量（仕事）」の分だけ、「勢い（運動エネルギー）」が変化した、というのが冒頭の式の意味です。
ある瞬間の現象を表す運動方程式を積分して、区間の変化量に書き直した式、ということです。
人間は、「区間」での変化量で現象を理解することを好む性質があります。
100メートル走を想像してください。
よーいドン！で走る走者の、瞬間瞬間の加速度を意識することは、スタートダッシュの瞬間ぐらいです。
結局、100メートルを何秒で走り切ったかで、速さを議論することのほうが多いです。
つまり、運動方程式より、エネルギーの式のほうが人間にとって使いやすい場合もある…ということです。
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