力学⑬　エネルギー

エネルギーは運動方程式の変形から生まれます。

運動方程式は力 \( F \) と質量 \( m \) を加速度 \( a \) で定義したもので、
\( F = m a \)
でした。

この式の両辺を位置 \( x \) で積分します。

\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} F dx = \int_{x_0}^{x_1} m a dx \)

この式を解釈しやすくするために、右辺を変形します。(説明を簡単にするために、数学的な厳密さを犠牲にします。気になる方はいろいろ調べてみてください)

\begin{eqnarray}
\int_{x_0}^{x_1} m a dx &=& \int_{x_0}^{x_1} m \frac{dv}{dt} dx \tag{1} \\
&=& \int_{v_0}^{v_1} m \frac{dx}{dt} dv \tag{2} \\
&=& \int_{v_0}^{v_1} m v dv \tag{3} \\
&=& \left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{v_0}^{v_1} \tag{4} \\
&=& \frac{1}{2} m v_1^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 \tag{5}
\end{eqnarray}

式(1)の変形は、加速度 \( a \) を、定義式 \( a = dv/dt \) で書き換えています。
式(2)の変形は、割り算と掛け算の順番を入れ替えています。つまり、速度の微小変化量 \(dv\) と、位置の微小変化量 \( dx \) の順番を入れ替えています。
式(3)の変形は、速度 \( v \) の定義式 \( v = dx/dt \) を使っています。
式(4)は積分の実行、式(5)は積分範囲の代入です。

…上記の式変形ですが、数学の技術的な話なので、無理にトレースしなくても構いません。式の変形は、式があらわす現象を人間に理解しやすい形にまとめているだけです。たくさんの従属変数などが絡み合った記述では、現象を理解するのが大変な場合があるので、簡単に理解できる表現に書き換えているだけです。

ということで、大事なのはシンプルになった最後の表現で、結局、

\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_1} F dx = \frac{1}{2} m v_1^2 – \frac{1}{2} m v_0^2 \)

です。